numeri felici

Un numero felice è definito tramite il seguente processo. Partendo con un qualsiasi numero intero positivo, si sostituisca il numero con la somma dei quadrati delle sue cifre, e si ripeta il processo fino a quando si ottiene 1 (dove ulteriori iterazioni porteranno sempre 1), oppure si entra in un ciclo che non include mai 1. I numeri per cui tale processo dà 1 sono numeri felici, mentre quelli che non danno mai 1 sono numeri infelici. Una ricerca su calcolatore fino a 10²⁰ ha fatto ipotizzare che circa il 12% dei numeri sia felice, sebbene non esista ancora dimostrazione di ciò. È comunque evidente che i numeri felici sono infiniti.
Dato un numero n = n₀, si definisca una sequenza n₁, n₂, ... dove n_{i + 1} è la somma dei quadrati delle cifre di n_i. Allora n è felice se e solo se questa sequenza porta a 1.
Se un numero è felice, allora tutti i numeri della sua sequenza sono felici; se un numero è infelice, tutti i numeri della sua sequenza sono infelici.
Ad esempio, 7 è felice, e la sequenza ad esso associata è:

7² = 49

4² + 9² = 97

9² + 7² = 130

1² + 3² + 0² = 10

1² + 0² = 1.

I numeri felici più piccoli sono

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496. (Sequenza A007770 dell'OEIS).

Comportamento della sequenza

Se n non è felice, allora la sua sequenza non termina con 1. Ciò che accade è che la sequenza entra nel ciclo

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...

Per comprendere questo fatto, si noti dapprima che se n ha m cifre, allora la somma dei quadrati delle sue cifre è al massimo 81m. Da m = 4 in poi,

dunque qualsiasi numero maggiore di 1.000 diventa sempre più piccolo durante il processo. Un volta sotto il numero 1.000, il numero per cui la somma dei quadrati delle sue cifre è maggiore è 999, ed il risultato è 3 volte 81, ovvero 243.

• Nell'intervallo da 100 a 243, è il numero 199 a produrre il valore successivo più grande, 163.
• Nell'intervallo da 100 a 163, è il numero 159 a produrre il valore successivo più grande, 107.
• Nell'intervallo da 100 a 107, è il numero 107 a produrre il valore successivo più grande, 50.

Analizzando più attentamente gli intervalli [244,999], [164,243], [108,163] e [100,107], si nota come ogni numero maggiore di 99 diventa strettamente più piccolo durante questo processo. Quindi, indipendentemente dal numero con cui si parte, si ottiene sempre un numero minore di 100. Ricerca esaustive hanno mostrato come ogni numero nell'intervallo [1,99] sia felice o entri nel ciclo di cui sopra.

 Primi felici

Un primo felice è un numero felice che è anche primo. I primi felici più piccoli sono

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 (Sequenza A035497 dell'OEIS)

Si noti che tutti i numeri primi nella forma 10ⁿ + 3 e 10ⁿ + 9 sono felici.
A giugno 2007, il più grande primo felice conosciuto (che è anche il dodicesimo primo più grande conosciuto) è 4847 × 2^3321063 + 1. La sua espansione decimale ha 999.744 cifre. Tale numero è stato scoperto nel 2005 da Richard Hassler nell'ambito del progetto di calcolo distribuito Seventeen or Bust[1] [2], mentre Jens K. Andersen lo ha identificato come più grande primo felice conosciuto nel giugno 2007.